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Experimento Aleatorio
Se refiere a cualquier proceso o acción que se realiza bajo condiciones específicas y controladas, pero que, sin embargo, puede producir diferentes resultados en cada realización, sin que sea posible predecir con certeza cuál será el resultado específico en una instancia particular del experimento. La característica distintiva de un experimento aleatorio es esta incertidumbre inherente en el resultado.
Características de un Experimento Aleatorio
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Múltiples Resultados Posibles: Un experimento aleatorio tiene más de un resultado posible. Cada uno de estos resultados es un posible “estado del mundo” que podría ser observado después de realizar el experimento.
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Resultado Imposible de Predecir con Certeza: Antes de realizar el experimento, no es posible predecir con seguridad cuál será el resultado específico.
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Repetibilidad: El experimento se puede repetir bajo las mismas condiciones iniciales. Aunque los resultados individuales pueden variar, el conjunto de posibles resultados y sus probabilidades asociadas permanecen constantes a través de repeticiones.
Ejemplos de Experimentos Aleatorios
- Lanzar una Moneda: Donde los resultados posibles son \(Cara\) o \(Cruz\).
- Lanzar un Dado: Donde los resultados posibles son los números \(1, 2, 3, 4, 5, o 6\).
- Extraer una Carta de una Baraja: Donde cada carta de la baraja representa un posible resultado.
- Medir el Tiempo de Vida de un Componente Electrónico: Donde el resultado es el tiempo hasta que el componente falla, que puede variar incluso bajo condiciones de uso similares.
Resultado
En el contexto de experimentos aleatorios en probabilidad y estadística. Un resultado es definido como el resultado observable de realizar un experimento, el cual, bajo las mismas condiciones, puede variar en cada realización. Esto ilustra la naturaleza aleatoria de tales experimentos, donde no es posible predecir con certeza el resultado específico antes de realizar el experimento.
Se ofrecen varios ejemplos para explicar este concepto:
- Lanzar una Moneda 4 veces: \(B = \{"Cara", "Cruz", "Cara", "Cara"\}\)
- Lanzar un Dado 2 veces: \(A = \{4, 6\}\).
- Extraer una Carta de una Baraja: \(C = \{"A-corazones"\}\).
- Medir el Tiempo: \(D = \{"2024-04-18 12:15:23.381407"\}\).
Espacio Muestral
El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, simbolizado comúnmente como \(S\) o \(\Omega\). Cada resultado individual dentro del espacio muestral es un punto muestral. Generalmente se escribe entre llaves, representanto un conjunto, \(S={R_1, R_2, \ldots, R_n\).
Ejemplos:
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Lanzar una Moneda: \(S = {Cara, Cruz}\)
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Lanzar Dos Monedas Simultáneamente: En este caso, los posibles resultados incluyen todas las combinaciones de Cara y Cruz para las dos monedas:
\(S=\{(Cara, Cara), (Cara, Cruz), (Cruz, Cara), (Cruz, Cruz)\}\). -
Lanzar un dado de 6 caras: \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
Es posible que el número total de resultados posibles en algunos experimentos puede ser infinito, aunque contable, lo que significa que estos resultados pueden ser enumerados o indexados de alguna manera. Esto se ilustra con el ejemplo de seguir lanzando una moneda hasta que aparece una cara, donde teóricamente, el experimento podría continuar indefinidamente, generando un conjunto infinito pero contable de posibles secuencias de resultados.
Este concepto se ilustra claramente con el experimento de lanzar repetidamente una moneda hasta que aparezca una cara. Teóricamente, este experimento podría continuar indefinidamente si se obtienen cruces sucesivas, lo que lleva a una infinita secuencia de lanzamientos. Sin embargo, a pesar de la infinitud de este conjunto de resultados, es un conjunto contable.
Evento
Un evento es básicamente una colección de posibles resultados de un experimento aleatorio, es decir, un subconjunto del espacio muestral asociado a dicho experimento.
Un evento o suseso se define como uno o cualquier conjunto de resultados posibles de un experimento. El espacio muestral \(S\) o \(\Omega\) de un experimento es el conjunto de todos los posibles resultados individuales, y un evento es cualquier subconjunto de este espacio. Esto incluye desde el conjunto vacío, que representa un evento que nunca ocurre, hasta el espacio muestral completo, que es un evento que siempre ocurre.
Ejemplo:
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En el ejemplo de lanzar dos monedas al mismo tiempo teniamos que el espacio muestral es: \(S=\{(Cara, Cara), (Cara, Cruz), (Cruz, Cara), (Cruz, Cruz)\}\).
En este caso un evento puede ser que la primera noneda salga Cara:
\(A(primera sea Cara) = \{(Cara, Cara), (Cara, Cruz)\}\) -
Otro evento puede ser que salgan solo los nuemros pares al lanzar los dados. El espacio muestral de lanzar un dado es: \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) y el evento seria \(A(Solo_pares) = \{2, 4, 6\}\)
Eventos mutuamente excluyentes
Dos eventos se consideran mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, considere un lanzamiento de una sola moneda: los eventos “cruz” y “cara” son mutuamente excluyentes porque no podemos obtener ambas caras y cruces en un solo lanzamiento.
Podemos visualizar dos eventos mutuamente excluyentes como un par de círculos del diagrama de Venn que no se superponen. No se superponen porque no hay ningún resultado para un evento que también esté en el espacio muestral para el otro:
¿Qué pasa con los eventos que no son mutuamente excluyentes?
Si el evento \(A\) arroja un número impar y el evento \(B\) arroja un número mayor que dos, estos eventos no son mutuamente excluyentes. Tienen una intersección de \(\{3, 5\}\) . Cualquier evento que tenga una intersección no vacía no es mutuamente excluyente.
Ejemplos:
a) Tenemos una bolsa con cinco canicas: tres son verdes y dos son azules. Supongamos que sacamos una canica de la bolsa. El evento \(A\) es que la canica es verde. El evento \(B\) es que la canica es azul. ¿Son estos eventos mutuamente excluyentes? La respuesta es si, son eventos mutualmente excluyentes
b) Lanzamos un dado una vez. En el evento \(A\) sale un número impar. El evento \(B\) es sacar un número mayor que cuatro. ¿Son estos eventos mutuamente excluyentes? No.
Explicacion: En el caso del lanzamiento de un dado:
- El evento \(A = {1, 3, 5}\).
- El evento \(B = {5, 6}\).
Para que \(A\) y \(B\) sean mutuamente excluyentes, no deberían tener ningún resultado en común. Sin embargo, como puedes ver, ambos eventos incluyen el número 5. Esto significa que hay una situación en la que ambos eventos pueden ocurrir al mismo tiempo (si el dado cae en 5). Dado que existe esta posibilidad, los eventos no son mutuamente excluyentes.
Por lo tanto, es posible que ocurra \(A\) y \(B\) simultáneamente, lo cual sucede si el resultado del lanzamiento del dado es un 5, satisfaciendo tanto la condición de ser impar (evento \(A\)) como la condición de ser mayor que cuatro (evento \(B\)).
c) Lanzamos un dado una vez. En el evento \(A\) sale un número par. El evento \(B\) es sacar un número menor que dos. ¿Son estos eventos mutuamente excluyentes? La respuesta es si, son eventos mutualmente excluyentes